'Skaler' ve 'Vektör' deyip geçme!

Lisede ilk defa karşımıza çıkıyor herhalde skaler ve vektör kavramları; özellikle bir takım fizik kanunlarını yönlü olarak ifade etme zorunluluğu ortaya çıkınca bu ikisi arasındaki fark da ezbere tanımlarla veriliyor. Fakat daha yeni yeni fark etmeye başladığım haliyle, lisede öğrendiğimiz tipik "skaler ifadeler sadece büyüklüğe sahipken, vektörel ifade büyüklüklerin yanında yön ve doğrultuya sahiptir" tanımından lisansın sonu hatta yüksek lisansın başına kadar bir adım dahi ilerleyemiyoruz. Fizikteki hemen hemen bütün yasaları, ifadeleri bu gibi objeler üzerinden tanımlamamıza olanak veren, bir fizikçinin sabah akşam haşır neşir olduğu böylesi temel kavramların içi boş tanımlarla geçiştiriliyor olması hakikaten ilginç... Blogun da ilk yazısı olması itibariyle, fizik kitaplarının en başında yer alan böylesi bir 'giriş' konusu ile başlamak uygun olacaktır herhalde.

Yukarıda verdiğimiz naif tanımı tekrarlayıp onun üzerinden ilerleyelim:

- Skaler ifadeler sadece büyüklüğe (magnitude) sahiptir
- Vektörel ifadeler hem büyüklüğe hem de yöne(direction) sahiptirler.

Buradan yola çıkarak, örneğin kartezyen koordinat sisteminde bir nokta belirleyelim: $P(x,y)$. Bu noktayı belirleyen iki koordinat $x$ ve $y$ yukarıdaki tanıma göre birer skaler; ya da bu koordinatların mutlak değerleri $|x|, |y|$ de aynı şekilde birer skaler. Aslında, fizikte kullandığımız şekliyle bunların hiçbirinin bir skaler büyüklük olmadığını göreceğiz. $P$ noktasını gösteren pozisyon işaretçisi $\vec{r}$'i ele alalım; $\vec{r}$ bir vektör mü? Bir yönü olduğu kesin ama bu yön nereye göre tanımlanmış? Sabit bir $x$-$y$ koordinat sistemine göre elbette ama bu koordinat sistemini özel kılan şey ne ki, yönü ona göre tanımlıyoruz? Kısacası bu basit örnek üzerinde konuşurken dahi, skaler ve vektör ifadelerinin en azından lise fiziği yaparken 'işe yarayan' fakat fizik yapmak için yeteri kadar iyi ve dikkatli tanımlanmadığını fark edebiliyoruz.

En temel fizik yasasını ele alalım: $\vec{F} = m\vec{a}$. Bu denklemdeki $\vec{F}$ ve $\vec{a}$'nın yönleri belirli bir koordinat sistemine göre belirlenmiştir ve iki boyutta bir hareket söz konusu olduğunu düşünüp her ikisinin de iki komponente sahip olduğunu söyleyebiliriz: $(F_x,F_y)$ ve $(a_x,a_y)$. Bu komponentlerin seçilen koordinat sistemine spesifik sayılar olduğunu vurgulamak gerek. Örneğin koordinat sistemimizi  alttaki şekilde sağda kırmızı renkli olan gibi($S'$) tamamen farklı seçtiğimizde bu komponentlerin her birinin değişeceğinin farkındayız.

Dikkat etmemiz gereken bir şey var ki o da ilk baştaki hareket yasamız, yani $\vec{F} = m\vec{a}$, bu komponentlere sahip yeni $\vec{F'}$ ve $\vec{a'}$ için hala geçerli: $\vec{F'} = m\vec{a'}$ ! İşte bu nedenle ders kitaplarında bir fizik yasası verildiğinde bu yasanın hangi koordinat sistemine göre geçerli olduğuna dair bir şey söylenmez, çünkü fizik yasaları yukarıdaki gibi vektör halinde yazıldığında tüm koordinat sistemleri için geçerlidir! Fakat bunu sağlayan şey, önceden bir kabul değil, bizim $\vec{F} = m\vec{a}$'yı yazarken kullandığımız ve 'vektör' dediğimiz objelerin tanım özellikleridir. Kısacası, $\vec{F}$ ve $\vec{a}$ vektörleri aynı zamanda yanlarında bir 'sözlük' taşımaktalar; yani bu vektörlere $S'$ koordinat sisteminin $S$'e göre nasıl konumlandığını ve $\vec{F} = m\vec{a}$'yı verirsek, bize bunlar ışığından yeni koordinat sistemindeki $(F_x',F_y')$ ve $(a_x',a_y')$ koordinatlarını veriyorlar.

Eğer fizik yasalarının farklı farklı koordinat sistemlerine geçtiğimizde değişmemesini istiyorsak, o zaman bu yasaları, bu tip dönüşümler altında nasıl değişeceklerini bildiğimiz büyüklükler cinsinden yazmamız gerekiyor; bu büyüklüklere covariant büyüklükler deniyor. Bizim durumumuzda bu büyüklükler vektörlere karşılık geliyor. Daha genel bir ifade ile söylemek gerekirse:

Fizik yasalarının form-invariant (değişmez) kalması için covariant büyüklükler cinsinden yazılması gerekir.

Modern fizikte biliyoruz ki fizik yasaları hiçbir koordinat sistemi ya da gözlemciye göre tanımlanmıyorlar(özel göreliliğin en temel olayı bu zaten); yani fizik yasaları gözlemciden bağımsız bir yapıya sahipler. Dolayısıyla bu yasaları, beraberinde dönüşüm kurallarını taşıyan büyüklükler cinsinden yazmak zorundayız. İşte bunlara skaler ve vektör (daha genelleştirilmiş halleriyle tensör) diyoruz.

Bizim durumumuzda $\vec{F}$ ve $\vec{a}$ vektör ise, $\vec{F} = m \vec{a}$'nın farklı gözlemciler ve farklı koordinat sistemleri için form-invariant olduğunu kesin olarak biliyoruz. Bu tip dönüşümler altında vektörlerin tek tek komponentleri değişse de, aralarındaki ilişki, yani yasanın değişmeyeceğini biliyoruz.

Farklı koordinat sistemlerini göstermek için yukarıdaki şekil üzerinden devam edelim. Siyah ile gösterilmiş $(x,y)$ koordinat sistemi ve $\theta$ kadar açıyla döndürülmüş mavi renkli$(x',y')$ koordinat sisteminde P noktasının koordinatları farklı farklı sayılarla ifade ediliyor. Bunlar arasında şöyle bir dönüşüm ilişkisi var:
$$ x' = x \cos(\theta) + y \sin(\theta) \\
y' = -x \sin(\theta) + y \cos(\theta) \tag{1}$$Konum vektörünü her iki koordinat sisteminde sırasıyla $\vec{r} = (x,y)$ ve  $\vec{r'} = (x',y')$ şeklinde yazabiliyoruz. $x,y,x',y'$ değerlerinin farklı koordinatlar için farklı değerler aldığı ortada; fakat $P$ noktasının orijine uzaklığı olan aşağıdaki değer, seçilen her koordinat sistemi için aynı olacak:
$$ x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$$İşte skaleri de böyle tanımlıyoruz:

Eğer elimizde, bir dönüşüm (örn: dönme) altında değişmeyen bir büyüklük varsa buna (dönme işlemi altında) 'skaler' diyoruz.

Parantez içindeki 'dönme işlemi altında' genelde yazılmaz fakat bahsi geçen ifadenin hangi dönüşüm altında değişmediği, skaler olduğu aslında epey önem taşıyor. (Örneğin dönme altında korunan bir büyüklük, y eksenine göre ayna-simetrisi alındığında sabit kalmıyor olabilir.) Buna göre en başta sorduğumuz sorulara dönersek, her ne kadar sadece 'büyüklükleri' olsa da $P$ noktasının  ne koordinatı $x$, ne de onun büyüklüğü $|x|$ birer skaler değiller, çünkü bu ifadeler dönme altında aynı kalmıyorlar! (Bu dönüşümler altında aynı kalan bir başka skaler daha söyleyebilir misiniz? En güzel örnek herhalde iki vektörün($\vec{a}$ ve $\vec{b}$) iç çarpımı, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ olarak verilebilir. Bu ifade de bahsi geçen dönüşümler altında değişmeden kalıyor.)

Son olarak bunlar ışığında vektörün de (iki boyutta) genel bir ifadesini verelim:

İki komponente sahip ve bir noktanın koordinatları dönme altında nasıl dönüşüyorsa, $(1)$'deki gibi, komponentleri aynı şekilde dönüşen ifadelere 'vektör' diyoruz.  

Matematiksel ifadesiyle: $ \vec{u} = (u_x,u_y)$ bir vektördür ancak ve ancak (dönme altında):
$$u \rightarrow u' = (u_x',u_y') : \\
u_x' = u_x \cos(\theta) + u_y \sin(\theta) \\
u_y' = -u_x \sin(\theta) + u_y \cos(\theta) $$
Bu yazıya ilham veren, her izlediğim dersinde sayısız 'aydınlanma' yaşadığım V. Balakrashian'ın Mechanics, Oscilations and Waves ders videolarını temel kavramlara yönelik sezgisel ve derin açıklamaların peşinde olanlara mutlaka öneririm.