Fizikte elimizdeki sistemi tanımlamak için 'durum' (state) dediğimiz objeler kullanırız. Sistemlerin davranışını ifade etmek için bu durumların sayıları (istatistiksel özellikleri), nasıl değiştikleri (dinamik özellikleri), bu durumlarla ilişkili büyüklüklerin korunup korunmadığı (simetri yasaları) gibi sorularla uğraşırız. Bu nedenle 'durum' kavramının fiziğin en temelinde yatan şeylerden biri diyebiliriz. Örneğin bir ideal gazı tanımlamak için onun durumunu, basınç ve hacim parametrelerini kullanabiliriz. Yani bana bahsi geçen gazın $P$ ve $V$ değerlerini verildiğinde ben o sistemi tanımlamak için (örneğin sıcaklık ve toplam enerjisini hesaplamak için) yeterli bilgiye sahibim diyebilirim. Gazın parametrelerinin değişimi için ise termodinamiğin dönüşüm yasalarını kullanıruz. Benzer şekilde klasik mekanikte de bir parçacığın durumunu belirtmek için o parçacığın konumunu ve momentumu belirtmem gerekir. Örneğin parçacık 3 boyutta hareket ediyorsa, her üç boyut için $x$, $y$ ve $z$, aynı zamanda her üç boyuttaki momentumu $p_x$, $p_y$ ve $p_z$'yi söylersek o parçacığı tanımlamış oluruz. Bu durumların zamanla değişimini ise lisede 'Newton Yasaları' ($F = ma$), biraz büyünce de 'Hamilton Denklemleri' adını verdiğimiz kurallar veriyor. Kuantum mekaniğine geldiğimizde ise, elimizdeki sistemi tanımlamak için 'dalga fonksiyonu' adını verdiğimiz durumlarımız bulunuyor. Dalga fonksiyonunun kendisi matematiksel bir yapı olsa da kendisi sistemin erişilebilir durumlarının olasılıklarını hesaplamak için kullanılıyor. Kuantum mekaniğinde durumların zamanla değişimini de Schrödinger Denklemi adını verdiğimiz denklem ifade ediyor.
Kuantum mekaniğinde sistemi tanımlamak için kullandığımız 'durum'lar klasik mekanikteki parametrelerden biraz farklı davranıyorlar; daha farklı bir matematiksel yapıya sahipler aslında. Durumlar, klasik mekanikteki konum ve momentum değerleri gibi bir koordinat sisteminde ifade ettiğimiz 'nokta'lardan farklı olarak 'vektör uzayı' dediğimiz bir matematiksel yapının elemanları, dolayısıyla birer 'vektör'ler. Durumları zamanla değiştirmek için de vektörleri birbirine dönüştürmemize yani bir 'dönüşüm operatörüne (işlemci)' ihtiyacımız var. Operatör'leri kabaca matrislerin genel halleri gibi düşünebiliriz; bir vektörü matrisle çarparak farklı bir vektör elde ediyoruz gibi... Yani sistemin zamanla evrilmesi demek durum vektörlerimizin 'zamanda evriltme (öteleme) operatörü' dediğimiz bir bir operatör aracılığıyla dönüşmesi anlamına geliyor.
Kuantum mekaniği kitaplarında sistemin durumunun değişimini formüle etmek için öncelikle 'gökten inmiş' gibi davranılan Schrödinger denklemi ile başlanıp, sonrasında buradan yola çıkıp yukarıda bahsettiğim 'zamanda ötemele operatörü' tanımlanıyor. Şu gökten inme olayını ortadan kaldırmak adına olaya tersten baktığımızda aslında Schrödinger Denklemi'nin nereden geldiği ve ne olduğunu daha iyi anlama fırsatımız olacak. Hadi başlayalım!
Elimizde bir 'zamanda ötemele operatörü' $U(t)$ olsun ve bu operatörü herhangi bir $t_0$ anında durum vektörü $\left|\psi(t_0)\right\rangle$'ne uyguladığımızda bize o durumun $t$ kadar sonraki halini versin, yani sistemi zamanda $t$ kadar ötelesin/evriltsin.
$$U(t) \left|\psi(t_0)\right\rangle =\left|\psi(t_0 + t)\right\rangle$$
Bu dönüşümün öncelikle durumlar arasındaki "ilişkiyi" korumasını istiyoruz. Yani durumlar başlangıçta birbirinden tamamen farklıysa, örneğin birbirine dikse (orthogonal), dönüşüm sonrasında da yani $t$ kadar süre sonra da durumların birbirine dik kalmalarını istiyoruz. Daha genel olarak durumların birbirlerine 'benzerliklerinin' bir ölçüsü olarak ifade edebileceğimiz iç çarpımlarının (inner product) değişmemesi istiyoruz. Bu koşul bizim dönüşüm operatörümüz için ektra bir özellik gerektirecek, o da operatörün unitary (Türkçesi: birimcil - ben İngilizce olan 'unitary'yi kullanacağım) olması:
$$\left\langle\phi\right|\psi\rangle = \left\langle\phi\right|U^\dagger U | \psi\rangle \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} U^\dagger U = I \text{ (unitary)} $$
Yukarıda $\left|\phi\right\rangle$ ve $\left|\psi\right\rangle$ gibi iki vektörün ilk baştaki iç çarpımları (braket notasyonu için bknz.), $U$ ve $U^\dagger$ yani $U$'nun Hermitsel eşleniği (kompleks eşlenik) ile dönüşümü sonucunda elde edilen iki vektörün iç çarpımına eşit olması koşulunun $U$'nun unitary bir operatör olduğu sonucuna vardığını görüyoruz. Yani kısacası bir durumu zamanda $t$ kadar ilerletmenin yolu onu $U(t)$ operatörü ile işleme sokmak.
$$U(t) \left|\psi(0)\right\rangle =\left|\psi(t)\right\rangle$$
Bir durumu $t = 0$ kadar ilerletmek ona hiç bir şey yapmamakla eşdeğer, yani birim işlemci (identity) uygulamayla eşdeğer:
$$U(0) = I \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} U^\dagger(0) = I$$
Elimimizdeki durumu zamanda $\epsilon$ kadar zamanda ötelemek için gereken operatörün şu formda olmasını bekliyoruz:
$$U(\epsilon) = I + \epsilon G \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} U^\dagger(\epsilon) = I + \epsilon G^\dagger$$
$G$ durumu $\epsilon$ kadar ilerleten operatör (kısa bir zaman dönüşümü ürettiği için üreteç (generator) olarak adlandırılıyor). Yeni oluşturduğumuz $U(\epsilon)$ operatörünün unitary olması gerekiyor:
$$(I + \epsilon G^\dagger)(I + \epsilon G) = I \\ \epsilon(G^\dagger + G) = 0 \\ G^\dagger = - G$$
Son satırda elimizdeki $G$ operatörünün anti-Hermitian özelliği olduğunu görüyoruz. Fakat kuantum mekaniğinde operatörlerin Hermitian özelliğe sahip olmasını istiyoruz (özdeğerleri real olması gibi özelliklerinden dolayı); dolayısıyla operatörümüzü alternatif olarak şöyle tanımlarsak istediğimiz koşul sağlanacak:
$$U(\epsilon) = I - \frac{i}{\hbar} \epsilon H \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} U^\dagger(\epsilon) = I + \frac{i}{\hbar} \epsilon H^\dagger \\ \boxed{H = H^\dagger}$$
$G$ operatörünü yeniden adlandırarak $H$ ismini verdik çünkü göreceğiz ki zamanda ötemenin üreteci sistemin enerjisiyle ilişkili Hamiltonyen operatörü.$\hbar$ Planck sabiti ve bunu denklemdeki boyutların tutması için gerekli bir sabit gibi düşünebilirsiniz.
Şu ana kadar yaptığımız şey, elimizdeki sistemi $\epsilon$ kadar küçük bir zaman için evriltmek ve sonucunu görmek. Buradan yola çıkıp sistemi daha uzun zamanlar evriltebilir miyiz peki? Elimizdeki kısa süreli evriltme işlemini üst üste uygulayarak daha uzun sürelerdeki değişimi elde edebiliriz. O halde yapalım; $n \rightarrow \infty $ ve $\epsilon$ çok küçük olup, çarpımları $\epsilon n = t$ olduğunda:
$$(I- \frac{i}{\hbar} \epsilon H)^n \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$$
Eksponensiyel fonksiyonun tanımı gereği, $\epsilon$ kadar küçük zaman ötelemesini $n$ kere uygulayıp sistemi toplamda $t$ kadar ötelemek için $e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$ gibi bir operatör kullanmam gerekiyor. (Bir operatörün eksponansiyeli için bknz.)
Şimdi vurucu kısma geldik. Elimizde en başta bahsettiğimiz $\left|\psi(t)\right\rangle$ durumumuz var ve bunu $\Delta t$ kadar zamanda evriltmek istiyoruz. Yapacağımız işlem şu şekilde olacak:
$$\left|\psi(t + \Delta t)\right\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}H \Delta t} \left|\psi(t)\right\rangle$$
Eğer $\Delta t$ çok büyük değilse eksponansiyel fonksiyonu $(I - \frac{i}{\hbar}H \Delta t)$ olarak açabiliriz:
$$\left|\psi(t + \Delta t)\right\rangle = (I - \frac{i}{\hbar}H \Delta t) \left|\psi(t)\right\rangle$$
$$\left|\psi(t + \Delta t)\right\rangle - \left|\psi(t)\right\rangle = -\frac{i}{\hbar}H \Delta t \left|\psi(t)\right\rangle$$
$$\frac{\left|\psi(t + \Delta t)\right\rangle - \left|\psi(t)\right\rangle}{\Delta t} = -\frac{i}{\hbar}H \left|\psi(t)\right\rangle$$
Son denklem $\Delta t$ değeri $0$'a giderken doğrudan $t$'ye göre türeve eşit olacak, dolayısıyla şöyle bir denklem elde ediyoruz:
$$\boxed{\frac{\partial \left|\psi\right\rangle }{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}H \left|\psi\right\rangle}$$
İşte meşhur (zamana bağlı) Schrödinger Denklemi! Klasik olarak kitaplarda ilk olarak bu denklemden başlanıp zamanda evrim operatorü $U$'nun eksponensiyel formda olduğu gösterilir. Fakat buradaki yolla ilerlediğimizde olayın mantığının ters, yani aslında Schrödinger Denklemi'nin mevcut formu zamanda evrim operatörünün eksponansiyel formda olmasından kaynaklandığı görülüyor. Aynı zamanda denklemin 'gökten inmediğini' de göstermiş olduk! Bu çözümlemeyi üstad Suskind'in 'Advanced Quantum Mechanics' serisinin ilk dersinde gördüm ve gördüğüm gibi yaşadığım 'aydınlanma' ile bunun tam bir 'Aslında Fizik' vakası olduğuna karar verdim. Umarım ilgilenen kişiler için de benzer etkiyi yaratır diyelim!
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder